Упр.136 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если точка $$X$$ равноудалена от концов данного отрезка $$AB$$, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярной к прямой $$AB$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$XAB$$. Так как $$AX=BX$$, то он равнобедренный с основанием $$AB$$.

Пусть $$O$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$XAB$$ отрезок $$XO$$ является медианой, а значит, и высотой. Следовательно,

$$XO \perp AB.$$

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $$XO$$ и точку $$T$$, такую что $$OT \perp AB$$. Тогда прямые $$OX$$ и $$OT$$ лежат в одной плоскости и пересекаются в точке $$O$$, значит, эта плоскость содержит прямую $$TO$$.

Кроме того, поскольку $$XO \perp AB$$ и $$OT \perp AB$$, то прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$TOX$$, содержащей пересекающиеся прямые $$OX$$ и $$OT$$.

Так как $$X \in XO$$ и $$XO \subset TOX$$, то точка $$X$$ лежит в плоскости $$TOX$$. Эта плоскость проходит через середину $$O$$ отрезка $$AB$$ и перпендикулярна прямой $$AB$$.

Следовательно, точка $$X$$ лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка $$AB$$ и перпендикулярной прямой $$AB$$.