Упр.135 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярна к прямой $$b$$, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что $$b \parallel a$$.

Пусть $$A=a\cap \alpha$$. Через точку $$A$$ в плоскости $$\alpha$$ проведём прямую $$b_1$$, параллельную прямой $$b$$. Тогда $$b_1\subset \alpha$$ и, так как $$a\perp b$$, получаем $$a\perp b_1$$.

Поскольку $$a\perp \alpha$$, то прямая $$a$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha$$, проходящей через точку $$A$$. Значит, $$a\perp b_1$$ и $$a\perp b$$.

Предположим, что $$b$$ не параллельна плоскости $$\alpha$$. Тогда прямая $$b$$ пересекает $$\alpha$$ в некоторой точке $$C$$. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$a$$ и $$b_1$$. В ней через точку $$A$$ проходят две прямые $$a$$ и $$b_1$$, причём $$a\perp b_1$$. Аналогично, через точку $$C$$ прямая $$b$$ перпендикулярна $$a$$, а значит, в плоскости, содержащей $$a$$ и $$b$$, получаем две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой $$a$$.

Но через точку вне прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой в данной плоскости. Это противоречит тому, что $$b$$ и $$b_1$$ параллельны и обе перпендикулярны $$a$$.

Следовательно, предположение неверно, и прямая $$b$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$. Значит, $$b\parallel \alpha$$.

Ответ: $$b\parallel \alpha$$.