Упр.134 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку $$M$$ прямой $$a$$ и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку $$M$$ и перпендикулярной к прямой $$a$$.
Проведём через точку $$M$$ две прямые $$b_1$$ и $$b_2$$, перпендикулярные прямой $$a$$. По условию $$M \in b_1$$, $$M \in b_2$$ и $$b_1 \perp a$$, $$b_2 \perp a$$.
Через две пересекающиеся прямые $$b_1$$ и $$b_2$$ можно провести единственную плоскость $$\beta$$. Так как прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$b_1$$ и $$b_2$$, лежащим в плоскости $$\beta$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем $$a \perp \beta$$.
Пусть теперь $$b$$ — любая прямая, проходящая через точку $$M$$ и перпендикулярная прямой $$a$$. Предположим, что $$b \not\subset \beta$$. Тогда прямая $$b$$ пересекает плоскость $$\beta$$ только в точке $$M$$, и через прямые $$a$$ и $$b$$ можно провести плоскость $$\gamma$$. Плоскость $$\gamma$$ пересекает плоскость $$\beta$$ по некоторой прямой $$c$$, проходящей через точку $$M$$.
Так как $$a \subset \beta$$ и $$a \perp \beta$$, то $$a \perp c$$. С другой стороны, $$b \subset \gamma$$ и $$c \subset \gamma$$, значит в плоскости $$\gamma$$ через точку $$M$$ проходят две прямые $$b$$ и $$c$$, обе перпендикулярные прямой $$a$$. Но в плоскости через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Получаем противоречие.
Следовательно, $$b \subset \beta$$. Значит, все прямые, проходящие через точку $$M$$ и перпендикулярные прямой $$a$$, лежат в плоскости $$\beta$$, проходящей через $$M$$ и перпендикулярной прямой $$a$$.
