Упр.132 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Пусть $$\alpha \parallel \beta$$ и $$a \perp \alpha$$. Докажем, что $$a \perp \beta$$.

Пусть прямая $$a$$ пересекает плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. В плоскости $$\alpha$$ проведём через точку $$A$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$.

Через точку $$B$$ в плоскости $$\beta$$ проведём прямые $$b_1$$ и $$c_1$$, параллельные соответственно прямым $$b$$ и $$c$$. Тогда $$b_1 \parallel b$$, $$c_1 \parallel c$$, а значит, $$b_1$$ и $$c_1$$ лежат в плоскости $$\beta$$.

Так как $$a \perp \alpha$$, то $$a$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha$$, проходящей через точку $$A$$. Следовательно, $$a \perp b$$ и $$a \perp c$$.

Из параллельности прямых получаем, что если $$b_1 \parallel b$$ и $$a \perp b$$, то $$a \perp b_1$$; аналогично из $$c_1 \parallel c$$ и $$a \perp c$$ следует, что $$a \perp c_1$$.

Итак, прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$b_1$$ и $$c_1$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$a \perp \beta.$$

Что и требовалось доказать.