Упр.131 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD точка M— середина ребра ВС, AB=AC, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=AC$$, а $$M$$ — середина ребра $$BC$$, то $$BM=MC$$. Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, а отрезок $$AM$$, проведённый к основанию $$BC$$, является и медианой, и высотой. Значит, $$AM\perp BC$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$DB=DC$$ и $$BM=MC$$, то $$\triangle DBC$$ равнобедренный, а $$DM$$ — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, значит, $$DM\perp BC$$.

Прямые $$AM$$ и $$DM$$ лежат в плоскости $$ADM$$ и пересекаются в точке $$M$$. Поскольку обе они перпендикулярны прямой $$BC$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC\perp (ADM).$$