Упр.131 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре ABCD точка M — середина ребра BC, $$AB=AC$$, $$DB=DC$$. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой BC.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=AC$$, то он равнобедренный. Поскольку $$M$$ — середина ребра $$BC$$, имеем $$BM=MC$$. Значит, прямая $$AM$$ является медианой равнобедренного треугольника $$ABC$$, а следовательно, и его высотой:

$$AM \perp BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$DB=DC$$ и $$BM=MC$$, то он тоже равнобедренный. Следовательно, $$DM$$ — медиана этого треугольника, а значит, и высота:

$$DM \perp BC.$$

Итак, прямые $$AM$$ и $$DM$$ лежат в плоскости $$ADM$$ и обе перпендикулярны прямой $$BC$$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$BC \perp (ADM).$$