Упр.130 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершину $$B$$ квадрата $$ABCD$$ проведена прямая $$BM$$. Известно, что $$\angle MBA=\angle MBC=90^\circ$$; $$MB=m$$, $$AB=n$$. Найдите расстояния от точки $$M$$ до: а) вершин квадрата; б) прямых $$AC$$ и $$BD$$.

Так как $$BM \perp AB$$ и $$BM \perp BC,$$ то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем $$BM \perp (ABCD).$$

Следовательно, треугольники $$MAB$$ и $$MBC$$ прямоугольные, поэтому

$$MA=\sqrt{MB^2+AB^2}=\sqrt{m^2+n^2},$$

$$MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{m^2+n^2}.$$

Диагональ квадрата

$$BD=n\sqrt{2}.$$

Так как $$BM \perp (ABCD),$$ то $$BM \perp BD,$$ значит, треугольник $$MBD$$ прямоугольный. Тогда

$$MD=\sqrt{MB^2+BD^2}=\sqrt{m^2+2n^2}.$$

Для расстояния от точки $$M$$ до прямой $$BD$$ перпендикуляром служит отрезок $$MB,$$ поэтому

$$p(M,BD)=MB=m.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда $$BO \perp AC,$$ а так как $$BM \perp (ABCD),$$ то $$BM \perp AC.$$ Следовательно, прямая $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$BMO,$$ и расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AC$$ равно $$MO.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBO$$ имеем

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{n\sqrt{2}}{2}=\frac{n}{\sqrt{2}},$$

поэтому

$$MO=\sqrt{MB^2+BO^2}=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$

Ответ: а) $$MA=MC=\sqrt{m^2+n^2},$$ $$MD=\sqrt{m^2+2n^2};$$ б) $$p(M,BD)=m,$$ $$p(M,AC)=\sqrt{m^2+\frac{n^2}{2}}.$$