Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.13 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом $$60^\circ$$, а их длины относятся как $$1:3$$. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника $$ABCD$$, если большая равна $$\sqrt{39}$$?
Обозначим через $$M,E,N,F$$ середины сторон $$AB,BC,CD,DA$$ соответственно. Тогда отрезки $$MN$$ и $$EF$$ — это средние линии треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$, поэтому
$$MN \parallel AC,\qquad EF \parallel AC.$$
Следовательно, угол между отрезками $$MN$$ и $$EF$$ равен углу между диагоналями четырёхугольника, то есть
$$\angle EON=60^\circ,$$
где $$O$$ — точка пересечения отрезков $$MN$$ и $$EF$$.
По условию $$EF:MN=1:3$$. Так как $$EF$$ и $$MN$$ — средние линии, то
$$EF=\frac{BD}{2},\qquad MN=\frac{AC}{2}.$$
Пусть $$BD=x$$, тогда $$EF=\frac{x}{2}$$, $$MN=\frac{3x}{2}$$. Но по условию большая диагональ равна $$\sqrt{39}$$, значит
$$AC=\sqrt{39},\qquad MN=\frac{\sqrt{39}}{2},\qquad EF=\frac{\sqrt{39}}{6}.$$
Рассмотрим треугольник $$OFN$$. Так как $$O$$ — точка пересечения средних линий, то $$O$$ делит каждую из них в отношении $$1:2$$, поэтому
$$OF=\frac{1}{3}ON.$$
Кроме того, $$FN=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$OFN$$:
$$FN^2=OF^2+ON^2-2\cdot OF\cdot ON\cdot \cos 120^\circ$$
$$\frac{39}{4}=\frac{ON^2}{9}+ON^2+\frac{ON^2}{3}$$
$$\frac{39}{4}=\frac{13}{9}ON^2,\qquad ON^2=\frac{27}{4},\qquad ON=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
Тогда
$$OF=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$EON$$. По теореме косинусов:
$$EN^2=OE^2+ON^2-2\cdot OE\cdot ON\cdot \cos 60^\circ$$
$$EN^2=\frac{3}{4}+\frac{27}{4}-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{21}{4}.$$
Значит,
$$EN=\frac{\sqrt{21}}{2}.$$
Так как $$EN$$ — половина меньшей диагонали $$BD$$, получаем
$$BD=2EN=\sqrt{21}.$$
Ответ: $$\sqrt{21}$$.
