Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.13 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости DEA_1.

Рассмотрим правильный шестиугольник $AFE$ в основании призмы. Так как все рёбра призмы равны $1$, то $$AF=FE=AE=1.$$

Найдём диагональ $AE$ в треугольнике $AFE$. Угол между сторонами $AF$ и $FE$ правильного шестиугольника равен $$\angle AFE=120^\circ.$$ Тогда по теореме косинусов:

$$ AE^2=AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cos 120^\circ $$
$$ AE^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)=3, $$
откуда $$AE=\sqrt3.$$

Рассмотрим треугольник $AEA_1$. Он прямоугольный, так как боковое ребро призмы перпендикулярно основанию, значит $$AA_1\perp AE.$$ Поэтому

$$ A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2. $$

Площадь треугольника $AEA_1$ можно выразить двумя способами:

$$ S_{AEA_1}=\frac12\cdot AE\cdot AA_1=\frac12\cdot A_1E\cdot AH, $$
где $AH$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $DEA_1$.

Подставим найденные значения:

$$ \frac12\cdot \sqrt3\cdot 1=\frac12\cdot 2\cdot AH, $$
$$ AH=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Ответ

$$\frac{\sqrt3}{2}$$