Упр.129 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$AM$$ перпендикулярна к плоскости квадрата $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что: а) прямая $$BD$$ перпендикулярна к плоскости $$AMO$$; б) $$MO \perp BD$$.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — квадрат, его диагонали перпендикулярны, значит

$$AC \perp BD.$$

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей, поэтому $$O \in AC$$ и, следовательно, прямая $$AO$$ лежит на диагонали $$AC$$. Тогда

$$BD \perp AO.$$

Кроме того, по условию $$AM \perp (ABCD)$$, а прямая $$BD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$. Значит,

$$BD \perp AM.$$

Прямые $$AM$$ и $$AO$$ пересекаются и лежат в плоскости $$AMO$$. Поскольку $$BD$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BD \perp (AMO).$$

Теперь так как $$MO \subset (AMO)$$, то прямая $$BD$$ перпендикулярна и прямой $$MO$$, лежащей в этой плоскости. Следовательно,

$$MO \perp BD.$$

Ответ: $$BD \perp (AMO),\quad MO \perp BD.$$