Упр.128 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая $$OM$$ так, что $$MA=MC$$, $$MB=MD$$. Докажите, что прямая $$OM$$ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, его диагонали пересекаются и делятся пополам. Значит,

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Рассмотрим треугольник $$AMC$$. В нём $$O$$ — середина стороны $$AC$$, а по условию $$MA=MC$$. Следовательно, $$MO$$ — медиана равнобедренного треугольника $$AMC$$, а значит, и высота:

$$MO\perp AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$BMD$$ имеем $$BO=OD$$ и $$MB=MD$$. Поэтому $$MO$$ — медиана равнобедренного треугольника $$BMD$$, следовательно,

$$MO\perp BD.$$

Прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в плоскости параллелограмма $$ABCD$$ и пересекаются в точке $$O$$. Поскольку прямая $$MO$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости параллелограмма:

$$MO\perp (ABCD).$$