Упр.127 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD 1 AC.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию

$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$

значит, $$AC\perp BC.$$

Так как $$BD\perp (ABC),$$ то прямая $$BD$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$ABC$$. В частности, $$BD\perp AC.$$

Прямые $$BC$$ и $$BD$$ пересекаются и лежат в плоскости $$BCD$$. Поскольку $$AC\perp BC$$ и $$AC\perp BD,$$ то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости имеем

$$AC\perp (BCD).$$

Так как $$CD\subset (BCD),$$ то из перпендикулярности прямой $$AC$$ плоскости $$BCD$$ следует

$$CD\perp AC.$$

Что и требовалось доказать.