Упр.125 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точки $$P$$ и $$Q$$ прямой $$PQ$$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $$\alpha$$ и пересекающие её соответственно в точках $$P_1$$ и $$Q_1$$. Найдите $$P_1Q_1$$, если $$PQ=15\ \text{см}$$, $$PP_1=21{,}5\ \text{см}$$, $$QQ_1=33{,}5\ \text{см}$$.

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha,$$ то $$PP_1 \parallel QQ_1.$$ Следовательно, точки $$P, Q, P_1, Q_1$$ лежат в одной плоскости, а четырёхугольник $$PP_1Q_1Q$$ — трапеция.

Опустим из точки $$P$$ перпендикуляр на прямую $$QQ_1$$ и обозначим основание через $$T$$. Тогда $$PT \perp QQ_1$$. Поскольку $$PP_1 \parallel QQ_1,$$ то $$PT \perp PP_1$$, значит, четырёхугольник $$PTP_1Q_1$$ — прямоугольник. Отсюда

$$PT=P_1Q_1,$$

а также $$TQ_1=PP_1=21{,}5\text{ см}.$$

Найдём $$QT$$:

$$QT=QQ_1-TQ_1=33{,}5-21{,}5=12\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$PQT$$, где $$PQ=15\text{ см}.$$ По теореме Пифагора:

$$PT^2=PQ^2-QT^2$$

$$PT^2=15^2-12^2=225-144=81$$

$$PT=9\text{ см}.$$

Так как $$PT=P_1Q_1,$$ то

$$P_1Q_1=9\text{ см}.$$