Упр.124 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$PQ$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Через точки $$P$$ и $$Q$$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $$\alpha$$, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $$P_1$$ и $$Q_1$$. Докажите, что $$PQ=P_1Q_1$$.

Так как $$PP_1 \perp \alpha$$ и $$QQ_1 \perp \alpha,$$ то прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1$$ параллельны.

Проведём плоскость через прямые $$PP_1$$ и $$QQ_1.$$ Тогда прямые $$PQ$$ и $$P_1Q_1$$ лежат в этой плоскости.

Поскольку $$PQ \parallel \alpha,$$ а плоскость, проведённая через $$PP_1$$ и $$QQ_1,$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$P_1Q_1,$$ то прямая $$PQ$$ параллельна прямой $$P_1Q_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$PP_1Q_1Q$$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны: $$PP_1 \parallel QQ_1$$ и $$PQ \parallel P_1Q_1.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$PQ=P_1Q_1.$$