Упр.123 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если две плоскости а и P перпендикулярны к прямой а, то они параллельны. Решение Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости а и P в различных точках A и В. По первой теореме п. 16 плоскости а и P перпендикулярны к прямой AB. Если допустить, что плоскости а и p не параллельны, т. e. имеют хотя бы одну общую точку M, то получим треугольник ABM с двумя прямыми углами при вершинах A и В, что невозможно. Следовательно, а Il p.

Подробный ответ

Проведём прямую $$AB \parallel a$$ так, чтобы точки $$A$$ и $$B$$ лежали в плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно.

Так как $$\alpha \perp a$$ и $$\beta \perp a$$, то по свойству прямой, параллельной перпендикулярной прямой, получаем:

$$\alpha \perp AB,\qquad \beta \perp AB.$$

Предположим, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не параллельны. Тогда они имеют общую точку $$M$$. В этом случае точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат в одной плоскости, и получаем треугольник $$ABM$$.

Но в треугольнике $$ABM$$ углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ прямые, так как $$AM \subset \alpha$$ и $$BM \subset \beta$$, а $$AB \perp \alpha$$ и $$AB \perp \beta$$. Значит,

$$\angle BAM = 90^\circ,\qquad \angle ABM = 90^\circ,$$

что невозможно: у треугольника не может быть двух прямых углов.

Следовательно, предположение неверно, и плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.