Упр.123 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если две плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны к прямой $$a$$, то они параллельны.

Подробный ответ

Проведём прямую $$AB \parallel a$$ так, чтобы точки $$A$$ и $$B$$ лежали в плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно. Тогда по теореме о прямой, параллельной прямой, перпендикулярной плоскости, получаем:

$$AB \perp \alpha \quad \text{и} \quad AB \perp \beta.$$

Предположим, что плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не параллельны. Тогда они имеют общую точку $$M$$. В этом случае точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат в одной плоскости, и в треугольнике $$ABM$$ углы при вершинах $$A$$ и $$B$$ прямые:

$$\angle BAM = 90^\circ,\qquad \angle ABM = 90^\circ.$$

Но треугольник не может иметь два прямых угла. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно.

Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны:

$$\alpha \parallel \beta.$$