Упр.122 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$CD$$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $$ABC$$. Через центр $$O$$ этого треугольника проведена прямая $$OK$$, параллельная прямой $$CD$$. Известно, что $$AB=16\sqrt{3}\ \text{см}$$, $$OK=12\ \text{см}$$, $$CD=16\ \text{см}$$. Найдите расстояния от точек $$D$$ и $$K$$ до вершин $$A$$ и $$B$$ треугольника.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$AB=BC=CA=16\sqrt{3}$$.

Прямая $$CD$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, значит $$CD\perp AC$$ и $$CD\perp BC$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$DAC$$ и $$DBC$$ по теореме Пифагора:

$$DA^2=DC^2+AC^2=16^2+(16\sqrt{3})^2=256+768=1024,$$
$$DA=32\text{ см}.$$

Аналогично

$$DB^2=DC^2+BC^2=16^2+(16\sqrt{3})^2=1024,$$
$$DB=32\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояния от точки $$K$$ до вершин $$A$$ и $$B$$. Поскольку $$OK\parallel CD$$, а $$CD\perp (ABC)$$, то $$OK\perp (ABC)$$. Следовательно, $$OK\perp OA$$ и $$OK\perp OB$$.

Точка $$O$$ — центр правильного треугольника $$ABC$$, значит $$OA=OB$$. Тогда прямоугольные треугольники $$KOA$$ и $$KOB$$ равны по двум катетам, откуда $$KA=KB$$.

Найдём $$OA$$. Для правильного треугольника

$$OA=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=16\text{ см}.$$

Тогда

$$KA^2=KO^2+OA^2=12^2+16^2=144+256=400,$$
$$KA=20\text{ см}.$$

Следовательно, $$KB=20\text{ см}$$.

Ответ: $$DA=DB=32\text{ см},\ KA=KB=20\text{ см}.$$