Упр.122 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр O этого треугольника проведена прямая OK, параллельная прямой CD. Известно, что AB 16V3 см, OK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вершин A и B треугольника.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$AB=BC=CA=16\sqrt{3}$$, а точка $$O$$ — его центр. Следовательно, $$O$$ является и центром описанной окружности, поэтому

$$OA=OB=OC.$$

Найдём радиус описанной окружности правильного треугольника:

$$OA=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=16\text{ см}.$$

Так как $$CD\perp (ABC)$$, то $$DC\perp AC$$ и $$DC\perp BC$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$DAC$$ и $$DBC$$ по теореме Пифагора:

$$ DA^2=DC^2+AC^2=16^2+(16\sqrt{3})^2=256+768=1024, $$

откуда

$$DA=32\text{ см}.$$

Аналогично

$$DB^2=DC^2+BC^2=16^2+(16\sqrt{3})^2=1024,$$

значит

$$DB=32\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим точку $$K$$. Поскольку $$OK\parallel CD$$ и $$CD\perp (ABC)$$, то $$OK\perp (ABC)$$. Значит, $$OK\perp OA$$ и $$OK\perp OB$$.