Упр.121 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В треугольнике $$\triangle ABC$$ дано: $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=6\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$CM$$ — медиана. Через вершину $$C$$ проведена прямая $$CK$$, перпендикулярная к плоскости треугольника $$ABC$$, причём $$CK=12\text{ см}$$. Найдите $$KM$$.

Подробный ответ

Так как $$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$M$$ — середина стороны $$AB$$, значит $$AM=\frac{AB}{2}$$.

Найдём $$AB$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ см}.$$

Тогда

$$AM=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

Найдём $$CM$$. В треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$\cos \angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$CM^2=AM^2+AC^2-2\cdot AM\cdot AC\cdot \cos \angle A$$

$$CM^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{3}{5}=25+36-36=25,$$

следовательно, $$CM=5\text{ см}$$.