Упр.121 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B треугольникеАВС дано: ZC = 90°, AC = 6 см, BC = 8 см, CM — медиана. Через вершину C проведена прямая CK, перпендикулярная к плоскости треугольникаАВС, причем CK = 12 см. Найдите KM.

Так как $$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$M$$ — середина стороны $$AB$$, значит $$AM=\frac{1}{2}AB$$.

Найдём $$AB$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\text{ см}. $$

Тогда

$$ AM=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}. $$

Найдём $$CM$$. В треугольнике $$ABC$$ применим теорему косинусов для угла $$A$$:

$$ \cos \angle A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}. $$

Тогда

$$ CM^2=AM^2+AC^2-2\cdot AM\cdot AC\cdot \cos \angle A. $$

Подставим значения:

$$ CM^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{3}{5} =25+36-36=25, $$

следовательно,

$$ CM=5\text{ см}. $$

Так как $$CK \perp (ABC)$$, то $$CK \perp CM$$, значит треугольник $$KCM$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$ KM=\sqrt{CK^2+CM^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{ см}. $$

Ответ

$$KM=13\text{ см}.$$