Упр.120 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку $$O$$ пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна $$a$$, проведена прямая $$OK$$, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки $$K$$ до вершин квадрата, если $$OK=b$$.

Так как $$OK \perp (ABCD),$$ то прямая $$OK$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости квадрата и проходящей через точку $$O$$. Значит,

$$OK \perp OA,\quad OK \perp OB,\quad OK \perp OC,\quad OK \perp OD.$$

В квадрате диагонали равны и делятся пополам, поэтому

$$OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}.$$

Найдём диагональ квадрата:

$$AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2},$$

следовательно,

$$OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOK$$. По теореме Пифагора:

$$AK^2=AO^2+OK^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+b^2=\frac{a^2}{2}+b^2.$$

Тогда

$$AK=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$

Аналогично получаем:

$$BK=CK=DK=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$

Ответ: $$KA=KB=KC=KD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{2}}.$$