Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ равнобедренной трапеции равна $$10$$ и образует угол в $$60^\circ$$ с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Рассмотрим диагональ $$AC$$. В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ углы при основании равны, значит

$$\angle A=\angle D=60^\circ.$$

Треугольник $$ACD$$ равнобедренный, так как $$AD=BC$$, а в равнобедренной трапеции диагонали симметричны. Тогда диагональ $$AC$$ делит трапецию на два треугольника, и средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

Поскольку в равнобедренной трапеции диагональ, образующая угол $$60^\circ$$ с основанием, даёт равносторонний треугольник с соответствующей боковой стороной, получаем, что средняя линия равна половине диагонали:

$$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 10=5.$$

Ответ: $$5$$.