Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиуголыюй призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и DB_1F_1.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму. Все её рёбра равны $$1$$, значит сторона основания и боковое ребро равны $$1$$.

Найдём угол между плоскостями $$ABC$$ и $$DB_1F_1$$. Плоскость $$ABC$$ — это плоскость основания, поэтому искомый двугранный угол удобно свести к углу между прямой в плоскости $$DB_1F_1$$ и её проекцией на основание.

Обозначим через $$E$$ точку пересечения диагоналей верхнего шестиугольника, то есть центр верхнего основания. Тогда $$DE \perp F_1B_1$$, а в плоскости $$DB_1F_1$$ рассмотрим треугольник $$D E D_1$$.

Сначала найдём длину $$D_1E$$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, значит

$$A_1D_1=2R=2,$$

где $$R=1$$ — радиус описанной окружности верхнего шестиугольника. Тогда

$$D_1E=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Теперь найдём высоту призмы:

$$DD_1=1.$$

Треугольник $$D E D_1$$ прямоугольный, поэтому

$$\tan \angle D_1ED=\frac{DD_1}{D_1E}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, тангенс угла между плоскостями $$ABC$$ и $$DB_1F_1$$ равен $$\frac{2}{3}$$.

Ответ

$$\frac{2}{3}$$