Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, C и А, В, Dl

Так как точки $$A, B, C, D$$ не лежат в одной плоскости, то никакие три из них не лежат на одной прямой. В противном случае через эту прямую и четвёртую точку можно было бы провести плоскость, и все четыре точки оказались бы в одной плоскости, что противоречит условию.

Следовательно, точки $$A, B, C$$ не лежат на одной прямой, значит, через них проходит единственная плоскость $$\alpha$$:

$$A, B, C \in \alpha.$$

По аксиоме о плоскости, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Поэтому

$$AB \subset \alpha.$$

Аналогично, точки $$A, B, D$$ не лежат на одной прямой, значит, через них проходит единственная плоскость $$\beta$$:

$$A, B, D \in \beta,$$

и потому

$$AB \subset \beta.$$

Итак, прямая $$AB$$ принадлежит обеим плоскостям, значит,

$$AB = \alpha \cap \beta.$$

Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$AB$$.

Ответ

Да, пересекаются; линия пересечения — прямая $$AB$$.