Упр.119 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$OA$$ перпендикулярна к плоскости $$OBC$$, и точка $$O$$ является серединой отрезка $$AD$$. Докажите, что:

а) $$AB=DB$$;

б) $$AB=AC$$, если $$OB=OC$$;

в) $$OB=OC$$, если $$AB=AC$$.

Рассмотрим по очереди все пункты.

1. Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, а точки $$B$$ и $$O$$ лежат в плоскости $$OBC$$, то $$OA \perp OB$$. Поскольку точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — середина отрезка $$AD$$, то $$AO = OD$$.

   Следовательно, прямая $$OB$$ перпендикулярна отрезку $$AD$$ и проходит через его середину, значит, $$OB$$ — серединный перпендикуляр к $$AD$$. Тогда

   $$AB = DB.$$

2. Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, то $$OA \perp OB$$ и $$OA \perp OC$$, значит,

   $$\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ.$$

   По условию $$OB = OC$$, а сторона $$AO$$ — общая. Следовательно, прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по двум катетам. Отсюда

   $$AB = AC.$$

3. Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Как и выше, имеем

   $$\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ,$$

   а также $$AO$$ — общая сторона. Если $$AB = AC$$, то прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

   $$OB = OC.$$

Ответ: а) $$AB = DB$$; б) $$AB = AC$$; в) $$OB = OC$$.