Упр.119 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC, и точка O является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) AB = DB; б) AB = AC, если OB — ОС; в) OB = ОС, если AB = AC.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, то прямая $$OB$$ лежит в плоскости $$OBC$$, следовательно, $$OA \perp OB$$. Кроме того, точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$AO = OD$$ по условию. Значит, $$O$$ — середина отрезка $$AD$$, а прямая $$OB$$ перпендикулярна $$AD$$. Следовательно, $$OB$$ — серединный перпендикуляр к отрезку $$AD$$, поэтому

$$AB = DB.$$

б) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, то

$$\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ.$$

По условию $$OB = OC$$, а сторона $$AO$$ — общая. Значит, прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по двум катетам. Тогда соответствующие гипотенузы равны:

$$AB = AC.$$

в) Аналогично, рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Они прямоугольные, так как $$OA \perp (OBC)$$, значит

$$\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ.$$

По условию $$AB = AC$$, а катет $$AO$$ у треугольников общий. Следовательно, прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по гипотенузе и катету. Отсюда

$$OB = OC.$$