Упр.117 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $ABCD$ $BC \perp AD$. Докажите, что $AD \perp MN$, где $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AC$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AM=MB$$ и $$AN=NC$$, то точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ соответственно. Следовательно, $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит

$$MN \parallel BC.$$

По условию $$BC \perp AD$$. Прямая $$MN$$ параллельна $$BC$$, поэтому прямая $$MN$$ тоже перпендикулярна $$AD$$:

$$AD \perp MN.$$

Что и требовалось доказать.