Упр.116 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что:

1. а) $$DC \perp B_1C_1$$ и $$AB \parallel A_1B_1$$, если $$\angle BAD=90^\circ$$;
   б) $$AB \perp CC_1$$ и $$DD_1 \perp A_1B_1$$, если $$AB \perp DD_1$$.

Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные грани параллельны, а соответствующие рёбра параллельны:

$$AB \parallel A_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad CD \parallel C_1D_1,\quad AD \parallel A_1D_1,$$

$$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$

а)

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Если $$\angle BAD=90^\circ$$, то $$AB \perp AD$$. В параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$BC \parallel AD$$, значит

$$AB \perp BC.$$

Так как $$BC \parallel B_1C_1$$, то прямая, перпендикулярная $$BC$$, перпендикулярна и $$B_1C_1$$. Следовательно,

$$AB \perp B_1C_1.$$

Теперь рассмотрим параллелограмм $$AA_1D_1D$$. В нём $$AD \parallel A_1D_1$$, а из $$AB \perp AD$$ получаем

$$AB \perp A_1D_1.$$

Итак, $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$A_1D_1$$ и $$B_1C_1$$, лежащим в плоскости грани $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит,

$$AB \perp (A_1B_1C_1D_1).$$

Аналогично, из $$DC \parallel AB$$ и $$BC \parallel B_1C_1$$ следует

$$DC \perp B_1C_1.$$

б)

Пусть $$AB \perp DD_1$$. Так как $$DD_1 \parallel CC_1$$, то

$$AB \perp CC_1.$$

Рассмотрим параллелограмм $$AA_1B_1B$$. В нём $$AB \parallel A_1B_1$$ и $$AA_1 \parallel DD_1$$. Из условия $$AB \perp DD_1$$ получаем

$$A_1B_1 \perp DD_1.$$

Следовательно, $$DD_1$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$CC_1$$ и $$A_1B_1$$, лежащим в плоскости грани $$A_1B_1C_1D_1$$. Значит,

$$DD_1 \perp (A_1B_1C_1D_1).$$

Отсюда, в частности,

$$DD_1 \perp A_1B_1.$$