Упр.112 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

Подробный ответ

Обозначим ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, через $$a=AB,$$ $$b=AD,$$ $$c=AA_1.$$ Тогда все 12 ребер параллелепипеда разбиваются на три группы по 4 равных ребра, и сумма квадратов всех ребер равна

$$4a^2+4b^2+4c^2.$$

Докажем, что сумма квадратов четырех диагоналей равна этой же величине.

Рассмотрим основание $$ABCD$$ — параллелограмм. По теореме о параллелограмме сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

$$AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)=2(a^2+b^2).$$

Теперь рассмотрим параллелограммы $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$. Для них также верно:

$$A_1C^2+AC_1^2=2(AA_1^2+AC^2),$$

$$B_1D^2+BD_1^2=2(BB_1^2+BD^2).$$

Так как $$BB_1=AA_1=c,$$ а $$AC^2+BD^2=2(a^2+b^2),$$ то, складывая полученные равенства, имеем

$$\begin{aligned} A_1C^2+AC_1^2+B_1D^2+BD_1^2 &=2(AA_1^2+AC^2)+2(BB_1^2+BD^2) \\ &=4c^2+2(AC^2+BD^2) \\ &=4c^2+4(a^2+b^2). \end{aligned}$$

Следовательно, сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна

$$4a^2+4b^2+4c^2,$$

то есть сумме квадратов всех его 12 ребер.