Упр.110 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 плоскость A1DB параллельна плоскости D1CB1.

Подробный ответ

В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ противоположные грани параллельны, поэтому

$$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1,$$

$$AB \parallel A_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad CD \parallel C_1D_1,\quad AD \parallel A_1D_1.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BB_1D_1D.$$ Так как $$BB_1 \parallel DD_1$$ и $$B_1D_1 \parallel BD$$, то $$BB_1D_1D$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$B_1D_1 \parallel BD.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$CB_1A_1D.$$ Имеем $$A_1B_1 \parallel DC$$ и $$A_1D \parallel B_1C$$, значит $$CB_1A_1D$$ — параллелограмм. Тогда

$$CB_1 \parallel A_1D.$$

Теперь в плоскости $$A_1DB$$ лежат пересекающиеся прямые $$A_1D$$ и $$BD,$$ а в плоскости $$D_1CB_1$$ — пересекающиеся прямые $$CB_1$$ и $$B_1D_1.$$ При этом

$$A_1D \parallel CB_1,\qquad BD \parallel B_1D_1.$$

Следовательно, плоскости $$A_1DB$$ и $$D_1CB_1$$ параллельны, что и требовалось доказать.