Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Средняя линия трапеции равна $$4$$, углы при одном из оснований равны $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен $$1$$.

Пусть $$AD$$ и $$BC$$ — основания трапеции $$ABCD$$, а $$MN$$ — средняя линия, тогда

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=4.$$

Из условия $$EF=1$$ и по рисунку точка $$E$$ — середина основания $$AD$$, значит $$AE=DE$$. Обозначим через $$P$$ вершину, через которую проведены отрезки к точкам $$M$$ и $$N$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$PMN$$ точка $$K$$ — середина $$MN$$, поэтому

$$MK=KN=KP=\frac{MN}{2}=2.$$

Так как $$EF=1$$, то

$$PF=KP-KF=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$APD$$ получаем

$$AE=DE=PE=PF+EF=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$AD=AE+DE=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5.$$

Теперь из формулы средней линии трапеции:

$$4=\frac{AD+BC}{2}=\frac{5+BC}{2},$$

откуда

$$BC=3.$$

Ответ: $$3$$ и $$5$$.