Упр.109 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой $$a$$. Докажите, что прямая $$a$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ содержат соответственно пары боковых рёбер $$AA_1,\,BB_1$$ и $$CC_1,\,DD_1$$, не принадлежащих одной грани, а их линия пересечения — прямая $$a.$$

Так как в параллелепипеде боковые рёбра попарно параллельны, то

$$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$

Плоскость $$\alpha$$ содержит две параллельные прямые $$AA_1$$ и $$BB_1$$, а плоскость $$\beta$$ — две параллельные прямые $$CC_1$$ и $$DD_1$$. Рассмотрим диагонали оснований $$AC$$ и $$BD$$. Они пересекаются в точке $$O$$, а диагонали верхнего основания $$A_1C_1$$ и $$B_1D_1$$ пересекаются в точке $$O_1.$$

Тогда четырёхугольники $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$ — параллелограммы, значит их диагонали пересекаются и делятся пополам. Следовательно, точки $$O$$ и $$O_1$$ лежат на прямых, соединяющих середины соответствующих диагоналей, и прямая $$OO_1$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда:

$$OO_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$

Но прямая $$OO_1$$ лежит в обеих плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$, значит она и есть линия их пересечения:

$$a=OO_1.$$

Отсюда сразу получаем:

$$a \parallel AA_1.$$

Теперь покажем, что $$a$$ пересекает все диагонали параллелепипеда. Любая диагональ параллелепипеда лежит в одной из плоскостей $$\alpha$$ или $$\beta$$ и параллельна одной из диагоналей соответствующей грани. Так как прямая $$a=OO_1$$ проходит через точку пересечения диагоналей в каждой из этих плоскостей, то она пересекает каждую диагональ параллелепипеда.

Следовательно, $$a \parallel AA_1$$ и $$a$$ пересекает все диагонали параллелепипеда.