Упр.109 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Пусть плоскости $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$ пересекаются по прямой $$a.$$

Так как в параллелепипеде противоположные боковые рёбра параллельны, то

$$AA_1 \parallel BB_1,\qquad CC_1 \parallel DD_1.$$

Следовательно, в плоскостях $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$ лежат соответственно параллельные прямые $$AA_1$$ и $$BB_1,$$ а также $$CC_1$$ и $$DD_1.$$

Рассмотрим диагонали параллелограммов $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D.$$ Обозначим

$$O=AC\cap A_1C_1,\qquad O_1=B_1D\cap BD_1.$$

Тогда в параллелограмме $$AA_1C_1C$$ точка $$O$$ — середина диагоналей, а в параллелограмме $$BB_1D_1D$$ точка $$O_1$$ — середина диагоналей. Отрезок $$OO_1$$ соединяет середины двух параллельных отрезков, лежащих в параллельных плоскостях, поэтому

$$OO_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$

Значит, прямая $$a=OO_1$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда.

Теперь покажем, что $$a$$ пересекает все диагонали параллелепипеда. Любая диагональ параллелепипеда лежит в одной из плоскостей $$AA_1C_1C$$ или $$BB_1D_1D$$ и пересекает в этих плоскостях прямую, параллельную боковым рёбрам. Поэтому каждая диагональ пересекает прямую $$a$$ в одной точке.

В частности, диагонали $$AC,\ A_1C_1,\ BD,\ B_1D_1$$ пересекают $$a$$ в точках $$O$$ и $$O_1,$$ а остальные диагонали — в соответствующих точках пересечения с этой же прямой.

Итак, прямая $$a$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.