Упр.108 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$DABC$$ биссектрисы трех углов при вершине $$D$$ пересекают отрезки $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Построим на рёбрах $$DA,$$ $$DB,$$ $$DC$$ точки $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ так, что

$$DA_2=DB_2=DC_2.$$

Обозначим

$$F=DC_1\cap A_2B_2,\qquad A_3=DA_1\cap B_2C_2,\qquad B_3=DB_1\cap A_2C_2.$$

Рассмотрим треугольник $$A_2B_2D.$$ Так как $$DA_2=DB_2,$$ он равнобедренный. Прямая $$DC_1$$ — биссектриса угла $$A_2DB_2,$$ а в равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины является и медианой. Значит, $$F$$ — середина отрезка $$A_2B_2,$$ то есть

$$A_2F=FB_2.$$

Аналогично, из равенств $$DA_2=DC_2$$ и $$DB_2=DC_2$$ получаем, что в треугольниках $$A_2C_2D$$ и $$B_2C_2D$$ прямые $$DA_1$$ и $$DB_1$$ являются биссектрисами, следовательно,

$$A_3C_2=C_2B_3,\qquad B_3A_2=A_3C_2.$$

Значит, точки $$A_3,$$ $$B_3,$$ $$F$$ — середины сторон треугольника $$A_2B_2C_2,$$ а отрезки $$A_2A_3,$$ $$B_2B_3,$$ $$C_2F$$ являются его медианами. Следовательно, они пересекаются в одной точке $$Z_2.$$

Теперь рассмотрим плоскости $$A_2DZ_2,$$ $$B_2DZ_2$$ и $$C_2DZ_2.$$ Каждая из них содержит одну из медиан треугольника $$A_2B_2C_2,$$ поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $$DZ_2.$$

Но плоскость $$A_2DZ_2$$ содержит прямую $$DA_1,$$ плоскость $$B_2DZ_2$$ содержит прямую $$DB_1,$$ а плоскость $$C_2DZ_2$$ содержит прямую $$DC_1.$$ Значит, плоскости $$DAA_1,$$ $$DBB_1$$ и $$DCC_1$$ пересекаются по одной прямой $$DZ_2.$$

Следовательно, точки пересечения этих плоскостей с плоскостью $$ABC$$, то есть прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1,$$ пересекаются в одной точке.

Ответ: $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.