Упр.108 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, CA и AB соответственно в точках A1, B1 и C1. Докажите, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Построим на рёбрах $$DA,$$ $$DB,$$ $$DC$$ точки $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ так, чтобы

$$DA_2=DB_2=DC_2.$$

Обозначим

$$F=DC_1\cap A_2B_2,\qquad A_3=DA_1\cap B_2C_2,\qquad B_3=DB_1\cap A_2C_2.$$

Рассмотрим треугольник $$A_2B_2D.$$ Он равнобедренный, так как $$DA_2=DB_2.$$ Поскольку $$DC_1$$ — биссектриса угла $$\angle A_2DB_2,$$ то в равнобедренном треугольнике она является и медианой. Значит, $$F$$ — середина отрезка $$A_2B_2,$$ то есть $$A_2F=FB_2.$$

Аналогично, в треугольниках $$A_2C_2D$$ и $$B_2C_2D$$ прямые $$DA_1$$ и $$DB_1$$ являются биссектрисами, поэтому

$$A_3C_2=C_2B_3,\qquad B_3A_2=A_3C_2.$$

Следовательно, точки $$A_3,$$ $$B_3,$$ $$F$$ являются серединами сторон треугольника $$A_2B_2C_2$$, а значит, отрезки $$A_2A_3,$$ $$B_2B_3,$$ $$C_2F$$ — его медианы. Поэтому они пересекаются в одной точке $$Z_2.$$

Тогда плоскости $$A_2DZ_2,$$ $$B_2DZ_2,$$ $$C_2DZ_2$$ пересекаются по прямой $$DZ_2.$$

Но плоскости $$DAA_1,$$ $$DBB_1,$$ $$DCC_1$$ содержат соответственно прямые $$DA_1,$$ $$DB_1,$$ $$DC_1,$$ а значит, содержат и точки $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ и точку $$Z_2.$$ Следовательно, эти три плоскости пересекаются по одной прямой $$DZ_2.$$

Эта прямая пересекает плоскость $$ABC$$ в некоторой точке $$Z_1.$$ Тогда точки $$AA_1\cap BB_1\cap CC_1$$ совпадают с этой точкой, то есть отрезки $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.