Упр.104 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку M на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD.

Подробный ответ

Пусть плоскость сечения проходит через точку $$M$$ и параллельна прямым $$AC$$ и $$BD$$.

Тогда в грани $$ABC$$ через точку $$M$$ проведём прямую $$MN$$, параллельную $$AC$$. Она пересечёт ребро $$BC$$ в точке $$N$$.

Аналогично в грани $$ABD$$ через точку $$M$$ проведём прямую $$MK$$, параллельную $$BD$$. Она пересечёт ребро $$AD$$ в точке $$K$$.

Теперь рассмотрим грань $$ACD$$. Через точку $$K$$ в этой грани проведём прямую $$KL$$, параллельную $$AC$$. Она пересечёт ребро $$CD$$ в точке $$L$$.

Соединим точки $$L$$ и $$N$$. Получим четырёхугольник $$MNKL$$.

Проверим, что это и есть искомое сечение:
$$MN \parallel AC,\quad MK \parallel BD,\quad KL \parallel AC,\quad LN \parallel BD.$$
Следовательно, все стороны сечения попарно параллельны соответствующим направлениям, заданным в условии.

Значит, искомое сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $$M$$ параллельно прямым $$AC$$ и $$BD$$, — параллелограмм $$MNKL$$.