Упр.104 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Изобразите тетраэдр $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$ на ребре $$AB$$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $$M$$ параллельно прямым $$AC$$ и $$BD$$.
Через точку $$M$$ проведём прямую $$MN \parallel AC$$, причём $$N \in BC$$. Тогда в плоскости $$BCD$$ через точку $$N$$ проведём прямую $$NK \parallel BD$$, где $$K \in CD$$. Соединим точки $$M$$ и $$K$$.
Докажем, что четырёхугольник $$MNK\!E$$ является искомым сечением, где $$E \in AD$$ и $$ME \parallel BD$$.
Так как плоскость сечения проходит через прямую $$MN \parallel AC$$, то её линия пересечения с плоскостью $$ABC$$ параллельна $$AC$$. Аналогично, в плоскости $$ABD$$ через точку $$M$$ проводим прямую $$ME \parallel BD$$.
Поскольку $$AC \parallel$$ плоскости $$MNEF$$ и $$BD \parallel$$ плоскости $$MNEF$$, то в плоскости $$BCD$$ через точку $$N$$ проводим прямую $$NK \parallel BD$$, а в плоскости $$ACD$$ через точку $$K$$ проводим прямую $$KE \parallel AC$$. Соединив точки $$E$$ и $$M$$, получаем замкнутый четырёхугольник $$MEKN$$.
Следовательно, сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $$M$$ параллельно прямым $$AC$$ и $$BD$$, — это параллелограмм $$MEKN$$.
Ответ: сечение — параллелограмм $$MEKN$$, где $$MN \parallel AC$$, $$ME \parallel BD$$, $$NK \parallel BD$$, $$KE \parallel AC$$.
