Упр.103 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha ребрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки M, N и P так, что DM : MA = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см2 и DM : MA = 2 : 1.

Подробный ответ

Так как $$\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC},$$ то точки $$M,\ N,\ P$$ делят рёбра $$DA,\ DB,\ DC$$ тетраэдра в одинаковом отношении.

Рассмотрим треугольники $$DMP$$ и $$DAC$$. Имеем:

$$\frac{DM}{DA}=\frac{DP}{DC}.$$

Кроме того, угол $$\angle MDP$$ равен углу $$\angle ADC$$, так как это один и тот же угол при вершине $$D$$. Следовательно, $$\triangle DMP \sim \triangle DAC$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем:

$$\frac{MP}{AC}=\frac{DM}{DA}.$$

Аналогично из подобия $$\triangle DNP \sim \triangle DBC$$ следует, что

$$\frac{NP}{BC}=\frac{DN}{DB}.$$

Так как $$\frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}=\frac{DP}{DC},$$ то

$$MP \parallel AC,\qquad NP \parallel BC.$$

Две пересекающиеся прямые $$MP$$ и $$NP$$ плоскости $$MNP$$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $$AC$$ и $$BC$$ плоскости $$ABC$$. Значит,

$$MNP \parallel ABC.$$

Теперь найдём площадь $$\triangle MNP$$. Из условия $$DM:MA=2:1$$, значит

$$\frac{DM}{MA}=2,\qquad DM=2MA.$$

Тогда

$$DA=DM+MA=3MA,$$

откуда

$$\frac{DM}{DA}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно, коэффициент подобия треугольников $$DMP$$ и $$DAC$$ равен $$\frac{2}{3}$$, а значит,

$$\frac{MP}{AC}=\frac{2}{3}.$$

Аналогично

$$\frac{NP}{BC}=\frac{2}{3}.$$

Тогда коэффициент подобия треугольников $$MNP$$ и $$ABC$$ равен $$\frac{2}{3}$$, поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: