Упр.103 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рёбрах $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$ тетраэдра $$DABC$$ отмечены точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ так, что $$DM:MA=DN:NB=DP:PC$$. Докажите, что плоскости $$MNP$$ и $$ABC$$ параллельны. Найдите площадь треугольника $$MNP$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$10\ \text{см}^2$$ и $$DM:MA=2:1$$.

Из условия $$\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}$$ следует, что точки $$M,\ N,\ P$$ делят рёбра $$DA,\ DB,\ DC$$ тетраэдра в одном и том же отношении.

Рассмотрим треугольники $$DAC$$ и $$DMP$$. Так как

$$\frac{DM}{DA}=\frac{DP}{DC},$$

а угол $$\angle MDP$$ общий с углом $$\angle ADC,$$ то

$$\triangle DMP \sim \triangle DAC.$$

Отсюда

$$\frac{MP}{AC}=\frac{DM}{DA}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$DBC$$ и $$DNP$$ получаем

$$\triangle DNP \sim \triangle DBC,$$

значит,

$$\frac{NP}{BC}=\frac{DN}{DB}.$$

Так как по условию

$$\frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DB}=\frac{DP}{DC},$$

то

$$\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}.$$

Следовательно, в треугольниках $$MNP$$ и $$ABC$$ соответствующие стороны пропорциональны, значит,

$$\triangle MNP \sim \triangle ABC,$$

а потому плоскости $$MNP$$ и $$ABC$$ параллельны.

Теперь найдём площадь $$\triangle MNP$$. Из условия $$DM:MA=2:1$$ получаем

$$\frac{DM}{MA}=2,$$

то есть

$$DM=2MA.$$

Тогда

$$DA=DM+MA=3MA,$$

и значит

$$\frac{DM}{DA}=\frac{2}{3}.$$

Коэффициент подобия треугольников $$MNP$$ и $$ABC$$ равен $$\frac{2}{3}$$, поэтому отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$

Тогда

$$S_{MNP}=S_{ABC}\cdot \frac{4}{9}=10\cdot \frac{4}{9}=\frac{40}{9}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$S_{MNP}=\frac{40}{9}\text{ см}^2$$, плоскости $$MNP$$ и $$ABC$$ параллельны.