Упр.102 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что плоскость $$\alpha$$, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью $$\alpha$$, если длины всех рёбер тетраэдра равны 20 см.

Пусть тетраэдр $$DABC$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией, значит

$$MN \parallel AC.$$

Так как $$MN \subset \alpha$$ и $$AC \subset (ABC),$$ то плоскость $$\alpha$$ параллельна ребру $$AC$$.

Найдём размеры сечения $$MDN.$$

Все рёбра тетраэдра равны $$20$$ см, значит треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$ равносторонние. Поэтому отрезки $$DM$$ и $$DN$$ — медианы этих треугольников, а в равностороннем треугольнике медиана является и высотой:

$$DM=DN=\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\text{ см}.$$

Кроме того, в треугольнике $$ABC$$

$$MN=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ см}.$$

Следовательно, треугольник $$MDN$$ равнобедренный, и его периметр равен

$$P_{MDN}=DM+DN+MN=10\sqrt{3}+10\sqrt{3}+10=10(2\sqrt{3}+1)\text{ см}.$$

Чтобы найти площадь, опустим высоту $$DH$$ на основание $$MN$$. В равнобедренном треугольнике $$MDN$$ эта высота является также медианой, поэтому

$$MH=\frac{MN}{2}=5\text{ см}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$DMH$$:

$$DH^2=DM^2-MH^2=(10\sqrt{3})^2-5^2=300-25=275,$$

откуда

$$DH=5\sqrt{11}\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения:

$$S_{MDN}=\frac{1}{2}\cdot MN \cdot DH=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 5\sqrt{11}=25\sqrt{11}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$P_{MDN}=10(2\sqrt{3}+1)\text{ см},\quad S_{MDN}=25\sqrt{11}\text{ см}^2.$$