Упр.102 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость а, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех ребер тетраэдра равны 20 см.

Подробный ответ

Пусть тетраэдр $$DABC$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией, значит

$$MN \parallel AC.$$

Так как плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$M$$, $$N$$ и вершину $$D$$, то прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, плоскость $$\alpha$$ параллельна ребру $$AC$$.

Найдём стороны сечения $$MDN$$. Все рёбра тетраэдра равны $$20$$ см, значит треугольники $$ADB$$ и $$DBC$$ равносторонние. Поэтому $$DM$$ и $$DN$$ — медианы, а в равностороннем треугольнике медиана равна высоте:

$$DM=DN=\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\text{ см}.$$

Так как $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, то

$$MN=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ см}.$$

Треугольник $$MDN$$ равнобедренный, поэтому высота $$DH$$, проведённая к основанию $$MN$$, является также медианой. Тогда

$$MH=HN=\frac{MN}{2}=5\text{ см}.$$

Из прямоугольного треугольника $$DMH$$ получаем:

$$ DH^2=DM^2-MH^2=(10\sqrt{3})^2-5^2=300-25=275, $$

откуда

$$DH=5\sqrt{11}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь сечения:

$$ S_{MDN}=\frac{1}{2}\cdot MN \cdot DH =\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 5\sqrt{11} =25\sqrt{11}\text{ см}^2. $$

Периметр сечения: