Упр.101 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

Рассмотрим тетраэдр $$DABC$$ и обозначим через $$M, N, P, Q$$ середины рёбер $$DA, DC, BC, AB$$ соответственно.

Докажем, что отрезки $$MN$$ и $$PQ$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$.

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$DA$$ и $$DC$$ треугольника $$ADC$$, то $$MN$$ — средняя линия этого треугольника, значит

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ точки $$P$$ и $$Q$$ — середины рёбер $$BC$$ и $$AB$$, поэтому

$$PQ \parallel AC,\qquad PQ=\frac12 AC.$$

Следовательно, $$MN \parallel PQ$$ и при этом $$MN=PQ$$. Значит, четырёхугольник $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Диагоналями здесь являются отрезки $$MP$$ и $$NQ$$, поэтому они пересекаются в одной точке и эта точка делит каждый из них пополам.

Итак, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.