Упр.100 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две скрещивающиеся прямые и точка A. Докажите, что через точку A проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

Проведём через точку $$A$$ прямые $$a’$$ и $$b’$$, параллельные данным прямым $$a$$ и $$b$$. Так как $$a$$ и $$b$$ скрещиваются, то прямые $$a’$$ и $$b’$$ не могут быть параллельны, значит, они пересекаются. Следовательно, через них проходит единственная плоскость $$\alpha$$.

Рассмотрим два случая.

1. Ни одна из прямых $$a$$ и $$b$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$a \parallel a’$$ и $$b \parallel b’$$, а значит, $$a \parallel \alpha$$ и $$b \parallel \alpha$$. Получаем плоскость, проходящую через $$A$$ и параллельную обеим данным прямым.

2. Одна из прямых, например $$a$$, лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$b \not\subset \alpha$$, но $$b \parallel b’$$, причём $$b’ \subset \alpha$$. Значит, $$b \parallel \alpha$$. Итак, плоскость $$\alpha$$ проходит через прямую $$a$$ и параллельна прямой $$b$$.

Осталось доказать единственность. Пусть через точку $$A$$ существует ещё одна плоскость $$\beta$$, обладающая тем же свойством. Тогда в плоскости $$\beta$$ через $$A$$ можно провести прямую, параллельную одной из данных прямых, и по теореме о параллельных прямых такая прямая будет единственной. Следовательно, плоскость $$\beta$$ совпадает с плоскостью $$\alpha$$.

Значит, через точку $$A$$ проходит и притом только одна плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.