Упр.100 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку A проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

Пусть даны скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и точка $$A$$.

Проведём через точку $$A$$ прямые $$a’$$ и $$b’$$, параллельные соответственно прямым $$a$$ и $$b$$. Прямые $$a’$$ и $$b’$$ пересекаются, так как иначе они были бы параллельны, а тогда $$a \parallel b$$, что противоречит условию.

Следовательно, через пересекающиеся прямые $$a’$$ и $$b’$$ проходит единственная плоскость $$\alpha$$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Ни $$a$$, ни $$b$$ не лежат в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$a \parallel a’$$ и $$b \parallel b’$$, а значит, $$a \parallel \alpha$$ и $$b \parallel \alpha$$. В этом случае плоскость $$\alpha$$ проходит через точку $$A$$ и параллельна обеим данным прямым.

2. Одна из прямых, например $$a$$, лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$b \not\subset \alpha$$, иначе скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ лежали бы в одной плоскости. Так как $$b’ \subset \alpha$$ и $$b’ \parallel b$$, то прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Значит, плоскость $$\alpha$$ проходит через прямую $$a$$ и параллельна прямой $$b$$.

Аналогично рассматривается случай, когда в плоскости $$\alpha$$ лежит прямая $$b$$.

Осталось доказать единственность. Через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой, и только одну плоскость, проходящую через две пересекающиеся прямые. Поэтому искомая плоскость единственна.

Ответ

Через точку $$A$$ проходит и притом только одна плоскость, которая либо параллельна обеим данным скрещивающимся прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.