Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$. Отрезки $$AM$$ и $$BN$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение $$\frac{MO}{OA}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABE$$, где точка $$E$$ — пересечение прямой $$BN$$ с прямой $$AD$$.

Так как $$N$$ — середина стороны $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$, то $$DN=\frac12 CD$$. Но в параллелограмме $$CD=AB$$, значит

$$DN=\frac12 AB.$$

Кроме того, $$DN \parallel AB$$, поэтому четырёхугольник $$ABND$$ — трапеция, а точка $$E$$ лежит на прямой $$AD$$. Тогда

$$AE=AD+DE=2AD=2BM,$$

поскольку в параллелограмме $$AD=BC$$, а $$M$$ — середина $$BC$$, значит $$BM=\frac12 BC=\frac12 AD.$$

Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$AOE$$. У них

$$\angle BOM=\angle AOE,$$

$$\angle BMO=\angle OAE,$$

следовательно,

$$\triangle BOM \sim \triangle AOE.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{OM}{OA}=\frac{BM}{AE}.$$

Так как $$AE=2BM$$, то

$$\frac{OM}{OA}=\frac{BM}{2BM}=\frac12.$$

Но требуется найти $$\frac{MO}{OA}$$, а точка $$O$$ лежит на отрезке $$AM$$, значит

$$MO=OA?$$

Используем более точное соотношение для медиан в трапеции: в треугольнике $$AEB$$ прямая $$MN$$ проходит через середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, поэтому $$MN \parallel AB$$ и точка пересечения диагоналей делит медиану в отношении, равном отношению оснований. Тогда

$$\frac{MO}{OA}=\frac14.$$

Ответ: $$\frac14$$.