Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием прямой треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=BC=10$$, $$AC=16$$. Боковое ребро призмы равно $$24$$, точка $$P$$ — середина ребра $$BB_1$$. Найдите тангенс угла между плоскостями $$A_1B_1C_1$$ и $$ACP$$.

Обозначим через $$D$$ середину отрезка $$AC$$. Тогда

$$AD=CD=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8.$$

Так как $$AB=BC=10,$$ то в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ медиана $$BD$$ к основанию $$AC$$ является высотой, значит

$$BD\perp AC,$$

и

$$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$

Точка $$P$$ — середина ребра $$BB_1,$$ а призма прямая, поэтому $$BB_1\perp (ABC)$$. Следовательно, $$BB_1\perp AC$$ и $$BB_1\perp BD.$$

Плоскость $$ACP$$ содержит прямую $$AC,$$ а плоскость $$A_1B_1C_1$$ параллельна плоскости основания $$ABC.$$ Поэтому угол между плоскостями $$A_1B_1C_1$$ и $$ACP$$ равен углу между прямой $$PD$$ и плоскостью основания, то есть углу $$\angle PDB.$$

В прямоугольном треугольнике $$PDB$$ имеем

$$PB=\frac{BB_1}{2}=\frac{24}{2}=12,$$

а значит

$$\tan \angle PDB=\frac{PB}{BD}=\frac{12}{6}=2.$$

Ответ: $$2$$.