Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки М и N — середины сторон ВС и CD параллелограмма ABCD. Отрезки АМ и BN пересекаются в точке О. Найдите отношение MO/OA.

Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямой $$BN$$ с прямой $$AD$$.

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$, то в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, значит

$$MN \parallel BD,\qquad MN=\frac{1}{2}BD.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Поскольку $$AB \parallel CD$$, а $$N$$ — середина $$CD$$, то $$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$$ и $$DN \parallel AB$$. Следовательно, точка $$N$$ — середина стороны $$CE$$ треугольника $$CDE$$, а прямая $$BN$$ пересекает продолжение $$AD$$ в точке $$E$$ так, что

$$AE=2AD.$$

Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то

$$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.$$

Из параллельности прямых получаем:

$$\angle BOM=\angle AOE,\qquad \angle BMO=\angle OAE.$$

Значит, треугольники $$BOM$$ и $$AOE$$ подобны. Тогда

$$\frac{OM}{OA}=\frac{BM}{AE}.$$

Подставим найденные отношения:

$$BM=\frac{1}{2}AD,\qquad AE=2AD,$$

поэтому

$$\frac{OM}{OA}=\frac{\frac{1}{2}AD}{2AD}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно,

$$\frac{MO}{OA}=\frac{1}{4}.$$

Ответ

$$\frac{1}{4}$$