Исследовательские задачи Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
а) противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны;
б) основанием одной из высот тетраэдра является ортоцентр грани (при этом таким же свойством обладают и три другие высоты тетраэдра);
в) три бимедианы тетраэдра равны друг другу;
г) суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны;
д) произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра равны.

Подробный ответ

Докажем по пунктам эквивалентность каждого из условий ортоцентричности тетраэдра.

а) Пусть тетраэдр $$PABC$$ ортоцентрический, а $$AK$$ и $$PH$$ — его высоты. Тогда

$$AK \perp (PBC), \qquad PH \perp (ABC).$$

Следовательно,

$$AK \perp BC, \qquad PH \perp AB.$$

Аналогично для остальных высот получаем, что каждая пара противоположных рёбер перпендикулярна.

Обратно, если противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны, то, например, из $$AP \perp BC$$ и $$PB \perp AC$$ следует, что прямая, проходящая через вершину $$P$$ и перпендикулярная плоскости $$ABC$$, является высотой тетраэдра. Аналогично строятся остальные высоты, и они пересекаются в одной точке. Значит, тетраэдр ортоцентрический.

б) Из пункта а) известно, что для высот тетраэдра выполняются перпендикулярности вида

$$AP \perp BC, \qquad PH \perp AC, \qquad BH \perp AC,$$

и аналогично для остальных граней. Поэтому основание одной высоты является ортоцентром соответствующей грани. Например, если $$H$$ — основание высоты из вершины $$P$$, то в грани $$ABC$$ точка $$H$$ лежит на высотах треугольника, то есть является его ортоцентром.

Обратно, если основание одной высоты — ортоцентр грани, то эта высота перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости грани, значит, перпендикулярна всей плоскости. Аналогично получаем остальные высоты, и они пересекаются в одной точке.

в) Обозначим середины рёбер $$AB,\, BC,\, AC,\, AP,\, BP,\, PC$$ точками $$K,\, M,\, T,\, E,\, F,\, H$$ соответственно. Тогда

$$KH \parallel AB,\qquad MT \parallel AB,\qquad KH=MT=\frac12 AB,$$

$$KM \parallel PC,\qquad KM=\frac12 PC,$$

поэтому $$\angle K=90^\circ$$ и в прямоугольном треугольнике $$KMT$$ диагональ $$KT$$ равна $$MH$$. Аналогично в прямоугольном треугольнике $$KETF$$ имеем $$EF=KT$$.

Следовательно, все бимедианы тетраэдра равны друг другу.

Обратно, если три бимедианы равны, то из равенств диагоналей соответствующих прямоугольников получаем равенства противоположных рёбер и, значит, по пункту а) тетраэдр ортоцентрический.

г) Из пункта в) имеем

$$MH=KT=EF,$$

а также $$KM \perp KH$$ и $$KE \perp KF$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$KMH$$

$$MH^2=KM^2+KH^2=\left(\frac12 PC\right)^2+\left(\frac12 AB\right)^2,$$

а в прямоугольном треугольнике $$KEF$$

$$EF^2=KE^2+KF^2=\left(\frac12 AC\right)^2+\left(\frac12 PB\right)^2.$$

Так как $$MH=EF$$, то

$$PC^2+AB^2=AC^2+PB^2.$$

Аналогично получаем

$$BC^2+AP^2=AB^2+PC^2,$$

$$AC^2+PB^2=BC^2+AP^2.$$

Значит, суммы квадратов противоположных рёбер равны.

Обратно, если суммы квадратов противоположных рёбер равны, то из этих равенств следует равенство соответствующих бимедиан, а значит, по пункту в) тетраэдр ортоцентрический.

д) Рассмотрим двугранные углы $$\angle AED$$, $$\angle BDC$$, $$\angle AGC$$, $$\angle PFB$$. Для них можно записать

$$ AP^2+BC^2=2AP\cdot BC\cdot \ctg \angle BDC \cdot \ctg \angle PEA + \dots $$

и аналогично для остальных пар противоположных рёбер. По теореме синусов для соответствующих треугольников получаем

$$ \frac{AP\cdot BC}{\sin \angle BDC \cdot \sin \angle PEA} = \frac{PB\cdot AC}{\sin \angle PFB \cdot \sin \angle AGC}. $$

Отсюда следует, что

$$\cos \angle BDC \cdot \cos \angle PEA=\cos \angle PFB \cdot \cos \angle AGC.$$

Следовательно, произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.

Обратно, из равенства этих произведений и равенства сумм квадратов противоположных рёбер следует равенство соответствующих бимедиан, а значит, по уже доказанному тетраэдр ортоцентрический.

Итак, тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий а)–д).