Исследовательские задачи Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр тетраэдра). Докажите, что тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
а) противоположные рёбра тетраэдра перпендикулярны;
б) основанием одной из высот тетраэдра является ортоцентр грани (при этом таким же свойством обладают и три другие высоты тетраэдра);
в) три бимедианы тетраэдра равны друг другу;
г) суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны;
д) произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра равны.
Докажем эквивалентность каждого из условий ортоцентричности тетраэдра.
а) Пусть высоты $$AK$$ и $$PH$$ тетраэдра $$PABC$$. Тогда
$$AK\perp (PBC),\quad PH\perp (ABC).$$
Следовательно, $$AK\perp BC$$ и $$PH\perp BC$$, а также $$AK\perp PB,\; AK\perp PC,\; PH\perp AB,\; PH\perp AC.$$
Аналогично для остальных пар высот. Значит, если высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные рёбра попарно перпендикулярны.
Обратно, если противоположные рёбра попарно перпендикулярны, то каждая высота перпендикулярна двум рёбрам одной грани, а значит, перпендикулярна и плоскости этой грани. Следовательно, все высоты пересекаются в одной точке. Итак, тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда противоположные рёбра перпендикулярны.
б) Пусть основанием высоты $$PH$$ является точка $$H$$ на грани $$ABC$$. Из пункта а) известно, что
$$AP\perp BC,\quad PB\perp AC,\quad PC\perp AB.$$
Тогда в треугольнике $$ABC$$ прямые $$AH,\; BH,\; CH$$ являются высотами, поскольку
$$AH\perp BC,\quad BH\perp AC,\quad CH\perp AB.$$
Значит, точка $$H$$ — ортоцентр грани $$ABC$$. Аналогично основания всех высот тетраэдра являются ортоцентрами соответствующих граней.
в) Обозначим середины рёбер $$AB,\, AC,\, BC,\, PA,\, PB,\, PC$$ через $$K,\, M,\, T,\, E,\, F,\, H$$ соответственно. Тогда
$$KH\parallel AB,\quad MT\parallel AB,\quad KH=MT=\frac12 AB,$$
$$KM\parallel PC,\quad KM=\frac12 PC,\quad KM\perp KH.$$
Следовательно, четырёхугольник $$KHMT$$ — прямоугольник, и его диагональ $$KT$$ равна $$MH$$. Аналогично в прямоугольнике $$KETF$$ диагональ $$KT$$ равна $$EF$$. Поэтому
$$MH=KT=EF.$$
Аналогично получаем равенство всех трёх бимедиан тетраэдра.
г) Из пункта в) имеем
$$MH=KT=EF,\quad KM\perp KH,\quad KE\perp KF.$$
В прямоугольном треугольнике $$KMH$$:
$$MH^2=KM^2+KH^2=\left(\frac12 PC\right)^2+\left(\frac12 AB\right)^2.$$
В прямоугольном треугольнике $$KEF$$:
$$EF^2=KE^2+KF^2=\left(\frac12 AC\right)^2+\left(\frac12 PB\right)^2.$$
Так как $$MH=EF$$, то
$$PC^2+AB^2=AC^2+PB^2.$$
Аналогично получаем
$$BC^2+AP^2=AB^2+PC^2,$$
$$AC^2+PB^2=BC^2+AP^2.$$
Значит, суммы квадратов противоположных рёбер равны. Обратно, из равенства этих сумм следует равенство соответствующих бимедиан, а значит, и ортоцентричность тетраэдра.
д) Рассмотрим двугранные углы $$\angle BDC,\; \angle PEA,\; \angle PFB,\; \angle AGC$$, соответствующие противоположным рёбрам. Для тетраэдра верна формула
$$AP^2+BC^2+2AP\cdot BC\cdot \cot \angle BDC\cdot \cot \angle PEA = PB^2+AC^2+2PB\cdot AC\cdot \cot \angle PFB\cdot \cot \angle AGC.$$
По теореме синусов для тетраэдра
$$\frac{AP\cdot BC}{\sin \angle BDC\cdot \sin \angle PEA} = \frac{PB\cdot AC}{\sin \angle PFB\cdot \sin \angle AGC}.$$
Отсюда получаем, что равенство сумм квадратов противоположных рёбер эквивалентно равенству произведений косинусов противоположных двугранных углов:
$$\cos \angle BDC\cdot \cos \angle PEA = \cos \angle PFB\cdot \cos \angle AGC.$$
Следовательно, тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий а)–д).
