Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза $$AB$$ равна $$c$$ и $$?ABC=?$$. Найдите все медианы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, гипотенуза $$AB=c$$, $$\angle ABC=\alpha$$. Найдём длины медиан $$AD$$, $$BE$$ и $$CF$$.

Ход решения

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана $$CF$$, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$$CF=\frac{AB}{2}=\frac{c}{2}.$$

Из прямоугольного треугольника $$ABC$$ получаем:

$$\cos\alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad \sin\alpha=\frac{AC}{AB}.$$

Следовательно,

$$BC=c\cos\alpha, \qquad AC=c\sin\alpha.$$

2) Рассмотрим медиану $$BE$$. Точка $$E$$ — середина стороны $$AC$$, значит

$$CE=\frac{AC}{2}=\frac{c\sin\alpha}{2}.$$

Треугольник $$BEC$$ прямоугольный, поэтому

$$BE=\sqrt{BC^2+CE^2} =\sqrt{c^2\cos^2\alpha+\frac{c^2\sin^2\alpha}{4}} =\frac{c}{2}\sqrt{4\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}.$$

Так как $$4\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1+3\cos^2\alpha$$, то

$$BE=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2\alpha}.$$

3) Аналогично для медианы $$AD$$. Точка $$D$$ — середина стороны $$BC$$, значит

$$DC=\frac{BC}{2}=\frac{c\cos\alpha}{2}.$$

Треугольник $$ADC$$ прямоугольный, поэтому

$$AD=\sqrt{AC^2+DC^2} =\sqrt{c^2\sin^2\alpha+\frac{c^2\cos^2\alpha}{4}} =\frac{c}{2}\sqrt{4\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}.$$

Так как $$4\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1+3\sin^2\alpha$$, то

$$AD=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2\alpha}.$$

Ответ

$$AD=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2\alpha}, \qquad BE=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2\alpha}, \qquad CF=\frac{c}{2}.$$