Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите тангенс угла между прямой AC_1 и плоскостью BCC_1.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$AB=a$$.

Плоскость $$BCC_1$$ — это боковая грань куба. Прямая $$AB$$ перпендикулярна этой плоскости, значит ортогональная проекция точки $$A$$ на плоскость $$BCC_1$$ — это точка $$B$$. Тогда проекцией прямой $$AC_1$$ на плоскость $$BCC_1$$ является отрезок $$BC_1$$, а искомый угол равен $$\angle AC_1B$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC_1$$. В нём

$$BC_1=\sqrt{BC^2+CC_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\tan \angle AC_1B=\frac{AB}{BC_1}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$