Ответы на вопросы на стр.93 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)
- Чему равно ожидаемое число успехов $$S$$ при вероятности успеха $$0{,}5$$ в серии из $$20$$ испытаний? Подбросьте $$20$$ раз монету, считая успехом выпадение орла. Подсчитайте число наступивших успехов. Совпало ли число успехов с ожидаемым значением? Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?
- Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:
а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;
б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;
в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха. - Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.
- Проводятся две серии испытаний Бернулли длины $$n$$. Вероятность успеха в первой серии равна $$0{,}2$$, а во второй вероятность успеха равна $$0{,}8$$. Не производя вычислений, сравните:
а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;
б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии. - Число испытаний $$n$$ увеличивается. Как себя ведёт при этом:
а) математическое ожидание числа успехов;
б) математическое ожидание числа неудач;
в) дисперсия числа успехов;
г) математическое ожидание частоты успеха;
д) стандартное отклонение частоты успеха? - Верно ли, что в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач?
Математическое ожидание числа успехов в серии из $$n$$ испытаний Бернулли равно $$ES=np.$$
При $$n=20$$ и $$p=0{,}5$$ получаем:
$$ES=20\cdot 0{,}5=10.$$
Если при 20 подбрасываниях монеты выпало 7 орлов, то число успехов не совпало с ожидаемым значением, но отличается от него не сильно.
Число неудач равно $$n-S,$$ поэтому его математическое ожидание:
$$E(n-S)=n-np=n(1-p).$$
Чем больше вероятность успеха $$p,$$ тем меньше вероятность неудачи $$1-p,$$ а значит, тем меньше математическое ожидание числа неудач.
Верно утверждение б).
Для серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$:
$$ES=np,$$
$$DS=npq,\quad q=1-p.$$
Для частоты успеха $$F=\dfrac{S}{n}$$:
$$EF=p,$$
$$DF=\dfrac{pq}{n},$$
а стандартное отклонение частоты успеха равно
$$\sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.$$
а) Так как $$E S=np,$$ то при $$p_1=0{,}2$$ и $$p_2=0{,}8$$ имеем:
$$ES_1<ES_2.$$
б) Дисперсия числа успехов:
$$DS_1=n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8,\qquad DS_2=n\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2.$$
Следовательно,
$$DS_1=DS_2.$$
а) При увеличении $$n$$ математическое ожидание числа успехов $$ES=np$$ увеличивается.
б) Математическое ожидание числа неудач $$n(1-p)$$ тоже зависит от $$n$$ и при его росте увеличивается.
в) Дисперсия числа успехов $$DS=npq$$ увеличивается.
г) Математическое ожидание частоты успеха $$EF=p$$ не меняется.
д) Стандартное отклонение частоты успеха
$$\sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}$$
уменьшается.
Да, верно. Дисперсия числа успехов и числа неудач в серии испытаний Бернулли одинакова, так как в обоих случаях она равна
$$DS=npq.$$
Ответ
1) $$10$$; при 7 орлах число успехов не совпало с ожидаемым значением, но отличается не сильно. 2) б. 3) $$ES=np,\; DS=npq,\; EF=p,\; DF=\dfrac{pq}{n},\; \sigma_F=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}.$$ 4) а) $$ES_1<ES_2$$; б) $$DS_1=DS_2.$$ 5) а) увеличивается; б) увеличивается; в) увеличивается; г) не меняется; д) уменьшается. 6) да.
