Упр.91 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Пользуясь диаграммой Эйлера для событий $$A$$, $$B$$ и $$C$$, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий.

Рассмотрим объединение событий по формуле для двух событий:

$$P(A\cup B\cup C)=P((A\cup B)\cup C)=P(A\cup B)+P(C)-P((A\cup B)\cap C).$$

По формуле сложения вероятностей для двух событий имеем:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Кроме того,

$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),$$

поэтому

$$P((A\cup B)\cap C)=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).$$

Подставим это в первую формулу:

$$\begin{aligned} P(A\cup B\cup C) &=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+P(C) \\ &\quad -P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C). \end{aligned}$$

Итак,

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$

Ответ

$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$