Упр.81 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство:
   а) $$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{(A\cup B)}$$;
   б) $$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{(A\cap B)}$$.

Рассмотрим универсальное множество и изобразим события $$A$$ и $$B$$ на диаграмме Эйлера.

а) Область $$\overline{A}\cap\overline{B}$$ состоит из всех точек, которые не принадлежат ни $$A$$, ни $$B$$. Это ровно та же область, что и дополнение к объединению $$A\cup B$$, то есть $$\overline{A\cup B}.$$ Следовательно,

$$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}.$$

б) Область $$\overline{A}\cup\overline{B}$$ состоит из всех точек, которые не принадлежат хотя бы одному из событий $$A$$ или $$B$$. Единственная область, не входящая ни в $$\overline{A}$$, ни в $$\overline{B}$$, — это общая часть $$A\cap B$$. Значит,

$$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}.$$

Ответ

$$\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B},\qquad \overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}.$$