Упр.243 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Перед началом шахматной партии с помощью жребия игроки определяют, кто играет белыми, а кто — чёрными. Остап Бендер проводит сеанс одновременной игры с любителями шахмат города Васюки на 12 досках. Найдите вероятность того, что он будет играть белыми: а) ровно на 3 досках; в) хотя бы на 1 доске; б) ровно на 5 досках; г) по крайней мере на 2 досках.

Пусть $$p=q=\frac12$$ — вероятность того, что на одной доске Остап Бендер будет играть белыми или чёрными.

Тогда используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

1. Ровно на 3 досках:

   $$P_{12}(3)=C_{12}^3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^9=C_{12}^3\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(3)=\frac{12!}{3!\,9!}\cdot\frac{1}{2^{12}}=\frac{220}{4096}=\frac{55}{1024}\approx 0{,}054.$$

2. Ровно на 5 досках:

   $$P_{12}(5)=C_{12}^5\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right)^7=C_{12}^5\left(\frac12\right)^{12}.$$

   $$P_{12}(5)=\frac{12!}{5!\,7!}\cdot\frac{1}{2^{12}}=\frac{792}{4096}=\frac{99}{512}\approx 0{,}193.$$

3. Хотя бы на 1 доске:

   Удобнее найти вероятность противоположного события — что белыми он не будет играть ни на одной доске:

   $$P(\text{ни на одной})=C_{12}^0\left(\frac12\right)^0\left(\frac12\right)^{12}=\frac{1}{4096}\approx 0{,}0002.$$

   Тогда

   $$P(\text{хотя бы на одной})=1-\frac{1}{4096}\approx 0{,}9998.$$

4. По крайней мере на 2 досках:

   Найдём вероятность противоположного события: белыми он играет либо ни на одной доске, либо ровно на одной.

   $$P(0)=\frac{1}{4096},$$

   $$P(1)=C_{12}^1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^{11}=12\cdot\frac{1}{4096}=\frac{3}{1024}\approx 0{,}0029.$$

   Тогда

   $$P(\text{по крайней мере на 2})=1-\left(\frac{1}{4096}+\frac{3}{1024}\right)=1-\frac{13}{4096}=\frac{4083}{4096}\approx 0{,}997.$$

Ответ: а) $$0{,}054$$; б) $$0{,}193$$; в) $$0{,}9998$$; г) $$0{,}997$$.