Упр.241 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В некотором испытании Бернулли неудача наступает с вероятностью $$q=\frac{1}{3}$$. Найдите вероятность того, что в серии из $$5$$ таких испытаний: а) наступит ровно $$2$$ успеха; в) наступит более $$2$$ успехов; б) наступит ровно $$1$$ успех; г) наступит менее $$4$$ успехов.

Так как вероятность неудачи $$q=\frac13,$$ то вероятность успеха

$$p=1-q=1-\frac13=\frac23.$$

1. Ровно 2 успеха:

   $$P_2=C_5^2p^2q^3=\frac{5!}{2!\,3!}\left(\frac23\right)^2\left(\frac13\right)^3$$

   $$=10\cdot \frac49\cdot \frac1{27}=\frac{40}{243}\approx 0{,}165.$$

2. Ровно 1 успех:

   $$P_1=C_5^1p^1q^4=\frac{5!}{1!\,4!}\left(\frac23\right)\left(\frac13\right)^4$$

   $$=5\cdot \frac23\cdot \frac1{81}=\frac{10}{243}\approx 0{,}041.$$

3. Более 2 успехов:

   $$P_{>2}=C_5^3p^3q^2+C_5^4p^4q^1+C_5^5p^5q^0$$

   $$=\frac{5!}{3!\,2!}\left(\frac23\right)^3\left(\frac13\right)^2+\frac{5!}{4!\,1!}\left(\frac23\right)^4\left(\frac13\right)+\frac{5!}{5!\,0!}\left(\frac23\right)^5$$

   $$=10\cdot \frac{8}{27}\cdot \frac19+5\cdot \frac{16}{81}\cdot \frac13+\frac{32}{243}$$

   $$=\frac{80}{243}+\frac{80}{243}+\frac{32}{243}=\frac{192}{243}\approx 0{,}790.$$

4. Менее 4 успехов:

   $$P_{<4}=C_5^0p^0q^5+C_5^1p^1q^4+C_5^2p^2q^3$$

   $$=\frac{1}{243}+\frac{10}{243}+\frac{40}{243}=\frac{130}{243}\approx 0{,}535.$$

Ответ: а) $$\approx 0{,}165$$; б) $$\approx 0{,}041$$; в) $$\approx 0{,}790$$; г) $$\approx 0{,}535$$.