Упр.208 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Из отрезка $$[2;5]$$ случайным образом выбирается отрезок $$[a;b]$$ длины $$1$$. Найдите вероятность события: а) $$a<3$$; б) $$b<4$$; в) «середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$3$$ и $$4$$»; г) «середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$2{,}5$$ и $$4{,}5$$».

Пусть левый конец отрезка равен $$a$$, тогда правый конец $$b=a+1$$. Так как отрезок $$[a;b]$$ длины $$1$$ выбирается из $$[2;5]$$, то возможные значения $$a$$ лежат на отрезке $$[2;4]$$.

Все значения $$a$$ на отрезке $$[2;4]$$ равновозможны, поэтому вероятность каждого события равна отношению длины благоприятного промежутка к длине всего промежутка $$[2;4]$$, то есть к $$2$$.

1. $$a<3$$

   Благоприятные значения: $$a \in [2;3)$$. Тогда

   $$P(a<3)=\frac{3-2}{4-2}=\frac12.$$

2. $$b<4$$

   Так как $$b=a+1$$, то $$a+1<4$$, значит $$a<3$$. Следовательно,

   $$P(b<4)=\frac12.$$

3. Середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$3$$ и $$4$$

   Середина отрезка равна

   $$\frac{a+b}{2}=\frac{a+(a+1)}{2}=a+\frac12.$$

   Тогда

   $$3<a+\frac12<4,$$

   откуда

   $$2.5<a<3.5.$$

   Длина этого промежутка равна $$1$$, значит

   $$P=\frac{1}{2}.$$

4. Середина отрезка $$[a;b]$$ заключена между числами $$2{,}5$$ и $$4{,}5$$

   Имеем

   $$2.5<a+\frac12<4.5,$$

   то есть

   $$2<a<4.$$

   Это весь возможный промежуток для $$a$$, поэтому

   $$P=1.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac12$$; г) $$1$$.