Упр.199 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. На окружности с центром $$O$$ выбрана точка $$A$$. Из этой окружности выбирают случайную точку $$X$$. Найдите вероятность того, что угол $$\angle AOX$$: а) меньше $$90^\circ$$; б) больше $$120^\circ$$; в) находится в пределах от $$30^\circ$$ до $$60^\circ$$.

Так как точка $$X$$ выбирается равновероятно на окружности, то вероятность события равна отношению длины соответствующей дуги к длине всей окружности. Угол $$AOX$$ пропорционален дуге, поэтому достаточно сравнивать градусные меры.

а) Угол $$AOX<90^\circ$$ тогда и только тогда, когда точка $$X$$ лежит на дуге, соответствующей центральному углу $$180^\circ$$.

Тогда

$$P=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12.$$

б) Событие $$AOX>120^\circ$$ — дополнение к событию $$AOX<120^\circ$$.

Для угла $$120^\circ$$ соответствующая дуга имеет меру

$$240^\circ,$$

значит,

$$P(AOX<120^\circ)=\frac{240^\circ}{360^\circ}=\frac23.$$

Тогда

$$P(AOX>120^\circ)=1-\frac23=\frac13.$$

в) Найдём вероятность того, что $$30^\circ<AOX<60^\circ$$.

Сначала:

$$P(AOX<30^\circ)=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16,$$

$$P(AOX<60^\circ)=\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac13.$$

Тогда

$$P(30^\circ<AOX<60^\circ)=\frac13-\frac16=\frac16.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac16$$.