Упр.191 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В квадрате $$ABCD$$ случайным образом выбирается точка $$X$$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции $$AMCD$$, где точка $$M$$:
   а) середина стороны $$BC$$;
   б) делит отрезок $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$;
   в) делит отрезок $$BC$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$B$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда вероятность равна отношению площади трапеции $$AMCD$$ к площади квадрата $$ABCD$$.

а)

Если $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то трапеция $$AMCD$$ составляет $$3$$ из $$4$$ равных треугольников, на которые делится квадрат. Поэтому

$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{3}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3}{4}$$.

б)

Если $$M$$ делит отрезок $$BC$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$, то

$$BM=\frac{2}{3}a,\qquad MC=\frac{1}{3}a.$$

Площадь трапеции $$AMCD$$ равна сумме площадей прямоугольника шириной $$\frac{1}{3}a$$ и треугольника с основанием $$\frac{2}{3}a$$:

$$S_{AMCD}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}a\cdot a=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}a^2=\frac{2}{3}a^2.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{2}{3}a^2}{a^2}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}$$.

в)

Пусть $$BM=m$$, $$MC=n$$, тогда сторона квадрата

$$BC=m+n.$$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=(m+n)^2.$$

Площадь трапеции $$AMCD$$ состоит из прямоугольника шириной $$n$$ и высотой $$m+n$$ и треугольника с основанием $$m$$ и высотой $$m+n$$:

$$S_{AMCD}=n(m+n)+\frac{1}{2}m(m+n).$$

Тогда

$$P=\frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}}=\frac{n(m+n)+\frac{1}{2}m(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{n+\frac{1}{2}m}{m+n}=\frac{2n+m}{2m+2n}.$$

Ответ: $$\frac{2n+m}{2m+2n}$$.