Упр.190 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. В квадрате $$ABCD$$ случайным образом выбирается точка $$X$$. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику $$ADM$$, где точка $$M$$: а) середина стороны $$CD$$; б) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$1:2$$, считая от точки $$C$$; в) делит отрезок $$CD$$ в отношении $$m:n$$, считая от точки $$C$$.

Пусть сторона квадрата равна $$a.$$ Вероятность попадания случайной точки в фигуру равна отношению площадей:

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}.$$

а)

Точка $$M$$ — середина стороны $$CD,$$ значит $$DM=\frac{a}{2}.$$

Треугольник $$ADM$$ прямоугольный, поэтому

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot AD \cdot DM=\frac12 \cdot a \cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/4}{a^2}=\frac14=0{,}25.$$

б)

Точка $$M$$ делит отрезок $$CD$$ в отношении $$1:2,$$ считая от точки $$C,$$ значит

$$CM:MD=1:2,$$

откуда

$$MD=\frac{2}{3}a.$$

Тогда

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot a \cdot \frac{2}{3}a=\frac{a^2}{3}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2/3}{a^2}=\frac13.$$

в)

Пусть $$CM:MD=m:n.$$ Тогда

$$CD=CM+MD=m+n,$$

а значит сторона квадрата равна $$m+n,$$ и

$$MD=\frac{n}{m+n}(m+n)=n.$$

Площадь треугольника $$ADM$$:

$$S_{ADM}=\frac12 \cdot AD \cdot MD=\frac12 \cdot (m+n)\cdot n.$$

Площадь квадрата:

$$S_{ABCD}=(m+n)^2.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac12 (m+n)n}{(m+n)^2}=\frac{n}{2(m+n)}.$$

Ответ

а) $$\frac14$$; б) $$\frac13$$; в) $$\frac{n}{2(m+n)}$$.