Упр.162 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что: а) каждый ключ висит на своём крючке; б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке; в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках; г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих.

Число равновозможных размещений 12 ключей по 12 крючкам равно числу перестановок:

$$N=12!$$

Ход решения

а) Только одно размещение соответствует случаю, когда каждый ключ висит на своём крючке. Поэтому

$$P=\frac{1}{12!}.$$

б) Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» является противоположным к событию из пункта а). Тогда

$$P=1-\frac{1}{12!}.$$

в) Если два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках, то возможен только один такой способ размещения. Значит,

$$P=\frac{1}{12!}.$$

г) Ровно один ключ не может висеть не на своём крючке: если один ключ оказался не на своём месте, то и ключ с этого крючка тоже должен быть не на своём месте. Значит, такое событие невозможно.

$$P=0.$$

Ответ

$$\text{а) } \frac{1}{12!}; \quad \text{б) } 1-\frac{1}{12!}; \quad \text{в) } \frac{1}{12!}; \quad \text{г) } 0.$$