Упр.138 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. События $$A$$ и $$B$$ независимы. Докажите, что независимы события $$A$$ и $$\overline{B}$$.

Известно, что для независимых событий $$A$$ и $$B$$ выполняется

$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$

Так как событие $$A$$ распадается на несовместные события $$A \cap B$$ и $$A \cap \overline{B}$$, то

$$P(A)=P(A \cap B)+P(A \cap \overline{B}).$$

Отсюда

$$P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B).$$

Подставим формулу независимости:

$$P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A)\cdot P(B).$$

Вынесем $$P(A)$$ за скобки:

$$P(A \cap \overline{B})=P(A)\cdot (1-P(B)).$$

Но $$1-P(B)=P(\overline{B})$$, значит

$$P(A \cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}).$$

Следовательно, события $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы.

Ответ

$$P(A \cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B}),$$ значит, события $$A$$ и $$\overline{B}$$ независимы.